Pourriez vous m aider s il vous plait? Merci d'avance.

Ex 2:
a)
+) On sait que le plan EFGH est parallèle à la face ABCD du cube.
Donc, la section EFGH est un carré de 13 cm du côté.
Alors, l'aire de la section EFGH est de: [tex] A_{1} = 13^{2} =169[/tex] ([tex] cm^{2} [/tex])
 
+) On sait aussi que le plan HIJE est parallèle au arête [AB] du cube et coupe la face ABCD en [IJ].
Donc, la section HIJE est un rectangle.
Considérons le plan ABCD, le point J est sur [BC]
donc, BJ+JC=BC d'où BJ=13-9=4 (cm)
Considérons le plan BEFC, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BJE rectangle en B, on a:
[tex] JE^{2} = BJ^{2} + BE^{2} \\ JE^{2} = 4^{2} + 6^{2} \\ JE^{2} =52[/tex]
donc, [tex]JE=2 \sqrt{13} [/tex] (cm)
Alors, l'aire de la section HIJE est de: [tex] A_{2} =IJ.JE=13.2 \sqrt{13} =26 \sqrt{13} [/tex] ([tex] cm^{2} [/tex] )

b)
Considérons le plan BEFC, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle JCF rectangle en C, on a:
[tex] JF^{2} = CJ^{2} + CF^{2} \\ JF^{2} = 9^{2} + 6^{2} = 117[/tex]
donc, [tex]JF=3 \sqrt{13} [/tex]
Considérons le triangle JEF, on a que:
   + [EF] est le plus grand côté
   + [tex] EF^{2} = 13^{2} =169[/tex]
       [tex] JE^{2} + JF^{2} = 52 + 117 = 169[/tex]
donc, [tex] EF^{2} = JE^{2} + JF^{2} [/tex]
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JEF est rectangle en J

Ex 3:
La section du cylindre par le plan P est un rectangle.
La largeur du rectangle est égale à la hauteur du cylindre: l=9cm
Soit O le centre de base du cylindre
Soient [AB] la longueur du rectangle
On a que: A et B sont sur le cercle de centre O
Si deux points sont sur un cercle alors le centre de ce cercle est équidistant de ces 2 points.
Donc, OA=OB=8cm d'où le triangle OAB est isocèle en O
Soit I le milieu de [AB]
donc, [OI] est la médiane du triangle isocèle OAB
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur, la médiatrice, la bissectrice du triangle.
donc, [OI] est perpendiculaire à [AB] en I (car [OI] est la hauteur du triangle)
et la mesure des angles AOI=BOI=[tex] \frac{1}{2} .AOB= \frac{1}{2}. 120^{o} = 60^{o} [/tex] (car [OI] est la bissectrice du triangle)
D'après la formule des sinus dans le triangle OIB rectangle en I, on a:
[tex]sinBOI= \frac{IB}{OB} [/tex]
donc, [tex]IB=OB.sinBOI=8.sin 60^{o} =8. \frac{ \sqrt{3} }{2} =4 \sqrt{3} [/tex] (cm)
Alors, [tex]AB=2.IB=2.4 \sqrt{3} =8 \sqrt{3} [/tex] (cm)
La longueur du rectangle est [tex]8 \sqrt{3} [/tex] cm
Les dimensions du rectangle est [tex]8 \sqrt{3} [/tex] x 9

Si tu n'apprends pas la formule des sinus, on peut utilise la formule des cosinus:
D'après la formule des cosinus dans le triangle OIB rectangle en I, on a:
[tex]cosOBI= \frac{IB}{OB} [/tex]
donc, [tex]IB=OB.cosOBI=8.cos 30^{0} =8. \frac{ \sqrt{3} }{2} =4 \sqrt{3} [/tex] (cm)

( tu utilise la propriété la somme des angles dans un triangle pour calculer la mesure de l'angle OBI qui est égale à [tex] 30^{0} [/tex])