Bonjour, j'ai une question que je n'arrive pas à résoudre, pouvez vous m'aider: Quels sont les nombres complexes z tels que Z, (1/z) et (1-z) aient le même modu
Question
Quels sont les nombres complexes z tels que Z, (1/z) et (1-z) aient le même module ?
On justifiera sa réponse...
et aussi un deuxième exercice que j'ai réussi mais pas les deux dernières questions :
je bloque aux questions 3)c et 4) de cet exo quelqu'un pourrait il m'aiguiller ?
1) Résoudre dans R l'équation x²-3x-4=0
2) En désuire les solutions réelles de x (puissance 4) -3x²-4=0
3) On considère dans C l'équation z²= 3- 4i
a) Montrer que cette équation équivaut à résoudre le système (S) : z= x+iy
x²-y²=3
xy= -2
b) Démontrer que (x;y) est solution du système x²-y²=3 et xy= -2 ssi il est solution du système (S'):
x(puissance4) -3x²-4=0 et y= (-2)/x
c) En déduire les solutions du système S' puis celle de S
4) Conclure
Pour la 1) j ai 4 et -1
Pour la 2) j ai 2 et -2 en solutions reeles et i et -i pour les solutions complexes
Pour la 3) a et b j ai démontré ce qu il fallait trouver maintenant je bloque
1 Réponse
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1. Réponse laurance
pour que z et 1/ z aient le même module il faut que |z| = 1 / |z|d'où nécessairement |z|² = 1 autrement dit si z =x +iy il est nécessaire que
x² +y² = 1 après il y a encore |z| = | 1-z| ce qui entraîne bien entendu
| 1-z|² = |z|² = 1 autrement dit (x-1)² + y² = 1
d'où un système : x² + y² = 1 ; (x-1)² + y² = 1
on voit facilement qu'il faut avoir x² = (x-1)² = x² - 2x +1 donc x = 1/2
puis de x² + y² = 1 on déduit y² = 3/4 ce qui donne pour y : √3 / 2 et - √3 /2
pour la 2 ) l'énoncé demande les solutions réelles donc il faut pas donner i et - i
seulement 2 et -2
x² - y² = 3 et xy = -2 si x vaut 2 y vaut -2/x = -1
et si x vaut -2 alors y vaut 1 conclusion z² = 3-4 i a bien deux solutions
2 -i et -2 +i