Question sur suites de type bac s, aidez moi svp je galère vraiment... On considère la suite (Un) définie sur N. Soit U0= 8, et Un+1= racine(Un + 12) on sait qu

Bonjour Missfrofro,

question 1 : démontrer que pour tout n: Un+1 - 4 < (1/4)*(Un - 4 )

[tex]u_{n+1}-4=\sqrt{u_n+12}-4\\\\u_{n+1}-4=\dfrac{(\sqrt{u_n+12}-4)(\sqrt{u_n+12}+4)}{\sqrt{u_n+12}+4}\\\\u_{n+1}-4=\dfrac{(\sqrt{u_n+12})^2-16}{\sqrt{u_n+12}+4}\\\\u_{n+1}-4=\dfrac{u_n+12-16}{\sqrt{u_n+12}+4}\\\\u_{n+1}-4=\dfrac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}[/tex]

Or [tex]u_n\ge4\Longrightarrow u_n-4\ge0[/tex]
et 
[tex]u_n\ge4\Longrightarrow u_n+12\ge16\\\\\Longrightarrow \sqrt{u_n+12}\ge4\\\\\Longrightarrow \sqrt{u_n+12}+4\ge8\\\\\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{u_n+12}+4}\le\dfrac{1}{8}[/tex]

D'où,
[tex]u_{n+1}-4=\dfrac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}\\\\u_{n+1}-4=\dfrac{1}{\sqrt{u_n+12}+4}\times(u_n-4)\\\\u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{8}\times(u_n-4)\le\dfrac{1}{4}\times(u_n-4)[/tex]

Par conséquent,
[tex]\boxed{u_{n+1}-4\le\dfrac{1}{4}\times(u_n-4)} [/tex]

question 2: en déduire que pour tout n: Un - 4 < (1/4^(n-1))

En utilisant n fois la relation démontrée en (1), nous obtenons : 

[tex]u_{n}-4\le\dfrac{1}{4}\times(u_{n-1}-4)\\\\\le\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{4}\times(u_{n-2}-4)\\\\\le(\dfrac{1}{4})^2\times(u_{n-2}-4)\\\\\\\le(\dfrac{1}{4})^2\times\dfrac{1}{4}\times(u_{n-3}-4)\\\\\le(\dfrac{1}{4})^3\times(u_{n-3}-4)[/tex]

[tex]...\\\\\le(\dfrac{1}{4})^n\times(u_{n-n}-4)\\\\\le(\dfrac{1}{4})^n\times(u_{0}-4)\\\\\le(\dfrac{1}{4})^n\times(8-4)\\\\\le\dfrac{1}{4^n}\times4\\\\\le\dfrac{1}{4^{n-1}}\\\\\le(\dfrac{1}{4})^{n-1}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{u_{n}-4\le(\dfrac{1}{4})^{n-1}}[/tex]