Bonjour!!! Je suis en classe de terminal S et je bloque sur un exercice sur les suites, vous pouvez m'aider? Merci d'avance!! :*

Bonjour Nina03

Remarque préalable :

[tex]u_n=2(2^{n-1}+1)+n=2\times2^{n-1}+2+n\\\\\boxed{u_n=2(2^{n-1}+1)+n=2^{n}+2+n}[/tex]

Initialisation : n = 1

[tex]u_1=2(2^{1-1}+1)+1\\u_1=2(2^{0}+1)+1\\u_1=2(1+1)+1\\u_1=2\times2+1\\u_1=4+1\\\\\boxed{u_1=5}\ \ vrai.[/tex]

Hérédité :

Supposons que pour tout n ≥ 1, on ait : [tex]u_n=2(2^{n-1}+1)+n[/tex], soit que l'on ait : [tex]u_n=2^{n}+2+n[/tex]

Démontrons que [tex]u_{n+1}=2(2^{n}+1)+(n+1)[/tex], soit que [tex]u_{n+1}=2^{n+1}+2+(n+1)[/tex]
ce qui revient à démontrer que  [tex]u_{n+1}=2^{n+1}+n + 3[/tex]

En effet :

[tex]u_{n+1}=2u_n-(n+1)\\\\u_{n+1}=2(2^n+2+n)-(n+1)\\\\u_{n+1}=2\times2^n+4+2n-(n+1)\\\\u_{n+1}=2^{n+1}+4+2n-n-1\\\\u_{n+1}=2^{n+1}+n+3[/tex]

L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la propriété " pour tout n ≥ 1, : [tex]u_n=2(2^{n-1}+1)+n[/tex]"  est vraie.