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URGENT ! Fonction dérivée

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  • a) f'(x)=6x-14+8/x²=(6x³-14x²+8)/x²
    Or (2x-2)(3x²-4x-4)=6x³-8x²-8x-6x²+8x+8=6x³-14x²+8
    Donc f'(x)=(2x-2)(3x²-4x-4)/x²

    b) On étudie le signe de f'(x).
    Comme x²>0, le signe dépend de (2x-2)(3x²-4x-4)
    On cherche les racines de 3x²-4x-4
    Δ=4²+4*3*4=16+48=64
    √Δ=8
    x1=(4+8)/6=2
    x2=(4-8)/6=-2/3
    Donc (3x²-4x-4)=3(x-2)(x+2/3)
    Donc (2x-2)(3x²-4x-4)=3*2(x-1)(x-2)(x+2/3)=6(x-1)(x-2)(x+2/3)
    Comme x∈]0;+∞[, x+2/3>0 donc le signe de f'(x) dépend de (x-1)(x-2)
    Tableau de signe et de variation :
    x              0                        1                             2                             +∞      
    x-1                        -                             +                            +
    x-2                        -                              -                            +
    f'(x)                      +                              -                              +
    f(x)              croissant              décroissant            croissant

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