Voici mon dm de math en pièce joint Niveau Terminale S sur les intégrales, je ne comprends vraiment pas grand chose, pouvez vous m'aider svp merci

je ne peux rien te tracer:

 

2: a) g(2) est l'aire entre l'axe des abscisses et la fonction f entre x=0 et x=2.

 

b) compte tenue du tableau,  de 0 à 2 f(x) est positif donc 0≤g(2),

 

sur [0;2] la fonction est croissante le maximum est 1+[tex]e^{-2}[/tex]

donc g(2)≤2×(1+[tex]e^{-2}[/tex])≈2.27  donc a fortiori g(2)≤2.5

 donc 0≤g(2)≤2.5

 

3;a) pour tout x dans [2;+∞[ f est décroissante  quand x tend vers +∞   f(x) tend vers 1 en tout cas c'est ce que je crois lire , car la main en plein sur le chiffre gène pas mal^^, si ce n'est pas ça tu n'auras qu'à me le dire par mp.

 

bon supposons que ce soit 1.  la fonction a pour minimum 1,

 

 donc [tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]≥1×(x-2) pour tout x≥2

 

soit x compris entre 0 et 2 , f est au dessus de l'axe des abscisses sur cette intervalle donc g(x)≥0          et x-2≤0     donc sur [0;2] g(x)≥x-2  et comme sur [2;+∞[ :

 

[tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]≥x-2 et g(x)≥[tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]

 

car sur cette intervale:

g(x)=[tex]\int\limits^2_0 f{x} \, dx+\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]

 

on en déduit donc que g(x)≥x-2 pour tout x.

 

b)

[tex]\lim_{x \to \infty} x-2=+\infty[/tex]   par comparaison de limite on en déduit donc:

 

[tex]\lim_{x \to \infty} g(x)=+\infty[/tex]

4)pour tout a et b tel que a<b sur [0;+∞][[tex]\int\limits^a_0 f{x} \, dx\leq\int\limits^b_0 f{x} \, dx[/tex] donc g est croissante

sur [-∞;0] f est  croissante donc g est décroissante

car pour tout a et b tel a<b [tex]\int\limits^a_0 f{x} \, dx\geq\int\limits^b_0 f{x} \, dx[/tex]

 

partie B)  soit F(x) une primitive de f(x), F(x)=-x[tex]e^{-x}[/tex]+x  normalement il faut rédiger un peu plus pour la primitive:

 

alors g(x) = F(x)-F(0)   donc g(x)=-x[tex]e^{-x}[/tex]+x  - 0 donc g(x)=x(1-[tex]e^{-x}[/tex])

2) quand x tend vers -∞  e^(-x) tend vers +∞  donc -e^(-x)  tend vers -∞ et 1- e^(-x) tend vers -∞

 

donc [tex]\lim_{x \to -\infty} x(1-[tex]e^{-x}[/tex])=[tex]+\infty[/tex]

 

112: j'ai moins écris en tex parceque c'est très long et j'ai été moins rigoureux dans les explications (donc pense à justifier proprement)

 

1:[tex]xe^{-x^{2}}[/tex]=[tex]\frac{x^{2}}{xe^{x^{2}}}[/tex] or posons X=x² quand x tend vers +∞ X tend vers +∞  or tu as démontré dans ton cours que

 

[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{X}{e^X}=0[/tex]  donc par composition de fonction

 

[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{x^2}{e^{x^2}}=0[/tex] donc

 

[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{\frac{x^2}{e^{x^2}}}{x}=0[/tex]

 

donc

 

[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=0[/tex]

 

2: f'(x)=[tex]e^{-x^{2}}(1-2x^2)[/tex]      le signe est celui de 1-2x² car la fonction exponentielle est positif, 1-2x² est une fonction du second degré qui se factorise

 

-2(x-√8/4)(x+√8/4) tu fais le tableau de variation tu te rend compte que le maximum est √8/4 soit 2√2/4 donc √2/2

F(a)=[tex]\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx[/tex]

une primitive de f(x) est par exemple P(x)=[tex]\frac{-e^{-x^2}}{2}[/tex]

f est toujours positif (à justifier)

donc F(a)=[tex]\frac{-e^{-a^2}}{2}-\frac{-e^{-a^0}}{2}[/tex]=  [tex]\frac{-e^{-a^2}}{2}+\frac{1}{2}[/tex]

 

quand x tend vers +∞, -x² tend vers -∞ donc e^(-x^2) tend vers 0 donc

 

[tex]\lim_{x \to \infty} F(a)=\frac{1}{2}[/tex]

 

partie B

1) f est décroissante à partir de √2/2 a fortiori à partir de 1.  donc

f(n)×(n+1-n)≥Un≥ f(n+1)×(n+1-n)

donc

f(n)≥Un≥ f(n+1)    

 

2) pour tout n≥1 f(n+1)≤Un≤f(n), et f(n+2)≤Un+1≤f(n+1)≤Un   donc Un+1 ≤ Un pour tout n≥1 donc la suite U est décroissante.

 

3) [tex]\lim_{n \to \infty} f(n)=\lim_{n \to \infty}f(n+1)=0[/tex]

 

d'après le théorème des gendarmes on a donc [tex]\lim_{n \to \infty} Un=0[/tex]