URGENT! NIV. TERMINALE S La suite (Un) est définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un + 2n +1 1) déterminer les quatre premiers termes de cette

Bonjour Carolinerenaux59

La suite (Un) est définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un + 2n +1
1) déterminer les quatre premiers termes de cette suite.

[tex]U_1=U_0+2\times0+1\\U_1=1+0+1\\\\\boxed{U_1=2}\\\\U_2=U_1+2\times1+1\\U_2=2+2+1\\\\\boxed{U_2=5}\\\\U_3=U_2+2\times2+1\\U_3=5+4+1\\\\\boxed{U_3=10}[/tex]


[tex]U_4=U_3+2\times3+1\\U_4=10+6+1\\\\\boxed{U_4=17}[/tex]

2) on pose Vn = Un+1 – Un
a- calculer de deux façons différentes la somme Sn = V0 +V1 + ........ + Vn

Première méthode : 

D'une part, nous avons : 
[tex]V_n = U_{n+1}-U_n\\\\V_n = 2n+1[/tex]

D'autre part, nous avons :
[tex]V_{n+1}-V_n = [2(n+1)+1]-[2n+1]\\V_{n+1}-V_n = 2n+2+1-2n-1\\\boxed{V_{n+1}-V_n = 2}[/tex]

D'où la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison égale à 2 et dont le premier terme est V0 = 1.

En appliquant la formule de la somme de termes d'une suite arithmétique, nous en déduisons que 

[tex]S_n=(n+1)\times\dfrac{V_0+V_n}{2}\\\\S_n=(n+1)\times\dfrac{1+(2n+1)}{2}\\\\S_n=(n+1)\times\dfrac{2n+2}{2}\\\\S_n=(n+1)\times\dfrac{2(n+1)}{2}\\\\S_n=(n+1)\times(n+1)\\\\\boxed{S_n=(n+1)^2}[/tex]

Seconde méthode : 

[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+...+V_n\\\\S_n=(U_1-U_0)+(U_2-U_1)+(U_3-U_2)+...(U_{n+1}-U_n)\\\\S_n=U_1-U_0+U_2-U_1+U_3-U_2+...U_{n+1}-U_n[/tex]
Après simplification des termes identiques, nous avons ;
[tex]S_n=U_{n+1}-U_0\\\\\boxed{S_n=U_{n+1}-1}[/tex]

b- en déduire l'expression de Un en fonction de n.

En identifiant les résultats des deux méthodes, nous obtenons : 

[tex]U_{n+1}-1=(n+1)^2\\\\U_{n+1}=(n+1)^2+1[/tex]

Par conséquent, 
[tex]\boxed{U_{n}=n^2+1}[/tex]