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Le quotient [tex]\frac{p}{q}[/tex] est irréductible donc p et q sont premiers entre-eux

[tex]\sqrt{2}=\frac{p}{q}\\\sqrt{2}^{2}=(\frac{p}{q})^{2}\\\frac{p^{2}}{q^{2}}=2[/tex]

Donc logiquement on a :[tex]p^{2}=2q^{2}[/tex]
Or on sait que pour tout nombre entier, 2n est pair donc [tex]p^{2}[/tex] est pair donc [tex]p[/tex] est pair. Vu que [tex]p[/tex] est pair, il peut s'écrire sous la forme [tex]2n[/tex].

[tex]p^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}[/tex]
Donc on a l'égalité [tex]4n^{2}=2q^{2}\\q^{2}=2n^{2}[/tex]

On en déduit que [tex]q[/tex] est également pair or tout nombre pair peut se simplifier par 2 donc [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] ne sont premiers, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse. On en conclu donc √2 n'appartient par à Q.