Bjr à tous Dm Ts les nbs complexes pr lundi ex2 merci très urgent..

il faut remplacer z  par  -i  et faire le calcul    (-i)^3 = (-i)^2*(-i) = (-1)*(-i) = i

(-i)^2 = -1    d'où   f(- i) =  i  + ( - 8 + i)( -1)  + (17 - 8i)( -i)  + 17i = i + 8 - i  -17i + 8i² + 17i

= 8 + 8i² = 0 

(z + i )(z² + az + b) =   z^3  + az²  +  bz  +  iz²  + aiz   +  ib     déjà   il faut que  b= 17  puisque  f(z) se finit par  17 i    et  a  = -8   à cause de  ( 17 - 8i) z  =  bz  +aiz

enfin vérifie  :  az²  +  iz²  =  (-8 + i)z² 

conclusion   a=-8  et      b = 17     résoud   z² +az + b =  0      delta = a² - 4b = -4 = (2i)²

solutions   ( 8 + 2i)/2  =  4 +i    et   4 -i    les  3solutions de  f(z)=0  sont donc

- i  ;  4 + i  et  4 - i 

z -2 +i = x+iy-2+i           et     z +i =  x + iy  + i      

z' = (x+iy -2+i)(x-iy-i)  /  ( (x)² + (y+1)² ) 

(x+iy-2+i)(x-iy-i )= x² -ixy  -ix +ixy  +y²  +y -2x +2iy +2i+ix+y+1  

donc Re(z') = ( x² +y²  +2y  - 2x  +1  ) /(  x² +(y+1)² ) 

Im(z') =  ( 2y +2)  /  (x² + (y+1)² )

pour que z' soit un imaginaire pur  il faut et il suffit que  Re(z') = 0

x² + y²  + 2y - 2x + 1 = 0      ou    x² -2x +1 =  (x-1)²   et   y² + 2y =  (y+1)² -1

on arrive à  (x-1)² + (y+1)²  -1  =  0      (x-1)²  + (y+1)² = 1

mais attention   on ne doit pas avoir   x² +(y+1)² =  0

l'ensemble cherché  est donc le cercle ayant  pour centre  le point  (1; -1) 

et  pour rayon  1   sans le point   ( 0 ; -1)   pour lequel   le dénominateur s'annule

cette équation revient à   x² + y² +2y -2x +1 = 0  et  

(2y +2) /  ( x² + (y+1)² ) = 2    d'où    y + 1  =  x²  + (y+1)²  =x² + y² + 2y + 1

donc      d'une part    x² +y² =  -2y + 2x -1   et d'autre part    x² +y²   = -y

on arrive à   -2y + 2x -1 =  -y    puis  à     y = 2x -1

enfin en remplaçant      x² + (2x-1)²  = - 2x +1 

x² + 4x² - 4x +1 =  -2x  + 1        5x² - 4x  =  -2x           5x²  -2x =  0

x =0   entraînerait   y = -1  ( impossible)

la seule solution est   x =  2/5  =  0,4   qui entraîne   y = 0,8 -1  =  - 0,2

le  complexe alpha est  0,4 - 0,2i 

le point d'affixe  alpha appartient-il  à  l'ensemble

 x-1 = -0,6   et ( x-1)² = 0,36

y+1 =  0,8   et  ( y+1)² =  0,64         

conclusion   (x-1)² + (y+1)²  = 0.36 + 0.64 = 1   oui