est-il vrai que pour tout nombre réel x strictement positif, on a : x/1+x² inférieur ou égal à 1/x

On a nécessairement x²+1≥x²
Comme x>0 on peut diviser par x sans changer l'inégalité :
(x²+1)/x≥x
La fonction inverse est décroissante sur IR+ donc :
x/(x²+1)≤1/x
Donc c'est vrai