démontrer que [tex] \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{x+y+2 \sqrt{xy} } [/tex]

[tex] \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{( \sqrt{x} + \sqrt{y})^{2} } = \sqrt{x+2 \sqrt{xy}+y } =\sqrt{x+y+2 \sqrt{xy} } [/tex]

Bonjour Dydythomas

[tex] (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2= (\sqrt{x})^2+2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2\\\\ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2= x+2\sqrt{xy} + y\\\\ \boxed{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2= x+y+2\sqrt{xy}}\\\\et\\\\ {(\sqrt{x+y+2 \sqrt{xy}})^2=x+y+2\sqrt{xy}}[/tex]

Les carrés de  [tex]\sqrt{x} + \sqrt{y}[/tex]  et de  [tex]\sqrt{x+y+2 \sqrt{xy}}[/tex] sont égaux.

Puisque  [tex]\sqrt{x} + \sqrt{y}\ge0 [/tex]  et [tex]\sqrt{x+y+2 \sqrt{xy}}\ge0[/tex],
on en déduit que  [tex] \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{x+y+2 \sqrt{xy} } [/tex]