EXERCICE 1 Démontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, 8^n-1 est un multiple de 7. EXERCICE 2 Soit (Un) la suite numérique définie sur IN par: U0=

Ex 1 :
INITIALISATION : 8^0-1=1-1=0=0x7
donc pour n=0 la proposition est vraie

HEREDITE: On émet l'hypothèse de récurrence suivante: 8^n-1 est multiple de 7  soit 8^n-1=7k
Calculons 8^(n+1)-1
=(8^n fois 8)-1
On sait que 8^n-1=7k donc que 8^n=7k+1
donc (8^n fois8)-1=((7k+1)fois 8)-1
=56k+8-1
=56k+7
=7(8k+1)
=7K
Donc la proposition est vraie au rang n+1

CONCLUSION : La proposition est vraie au rang n=0 et la proposition est héréditaire donc pour tout n , la proposition est vraie

EXERCICE 2 :
U0=1
U1=-1/2
U2=-1/4
U3=7/8
Donc U3 supérieur à 0 
donc la proposition " Un sup ou = à 0" est vraie pour n=3
On émet l'hypothèse : "Un sup ou = à 0"
alors 1/2Un sup ou égal à 0
Comme n sup ou = à 3 , alors n-1 sup ou = à 0
donc 1/2Un+n-1 est la somme de deux termes positifs donc est positif
donc la proposition est héréditaire
Conclusion : la proposition est vraie pour n=3 et elle est héréditaire
donc la proposition est vraie pour tout n sup ou = à 3

Voilà!