Démontrez que le nombre n = ab( a^2 - b^2) est divisible par 3 pour tous les entiers relatifs a et b.
Mathématiques
Chitundu727
Question
Démontrez que le nombre n = ab( a^2 - b^2) est divisible par 3 pour tous les entiers relatifs a et b.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
soient a et b 2 nombres relatifs
n=ab(a²-b²)=ab(a-b)(a+b)
on effectue une disjonction de cas :
1er cas :
a≡0(3) ou b≡0(3)
donc ab(a-b)(a+b) ≡ 0(3)
donc n≡0(3)
donc n est divisible par 3
2ème cas :
a≡1(3) et b≡1(3)
donc ab≡1(3) et a-b≡0(3)
donc ab(a-b)(a+b) ≡ 0(3)
donc n≡0(3)
donc n est divisible par 3
3ème cas :
a≡1(3) et b≡2(3)
donc ab≡2(3) et a+b≡0(3)
donc ab(a-b)(a+b) ≡ 0(3)
donc n≡0(3)
donc n est divisible par 3
4ème cas :
a≡2(3) et b≡1(3)
donc ab≡2(3) et a+b≡3(3)≡0(3)
donc ab(a-b)(a+b) ≡ 0(3)
donc n≡0(3)
donc n est divisible par 3
5ème cas :
a≡2(3) et b≡2(3)
donc ab≡4(3) et a-b≡0(3)
donc ab(a-b)(a+b) ≡ 0(3)
donc n≡0(3)
donc n est divisible par 3