Bonsoir, J'ai un raisonnement par l'absurde à faire: montrer que [tex] \sqrt{2}[/tex] n'appartient pas aux nombres rationnels. Il faut commencer par supposer qu

Si [tex]\sqrt{2}[/tex] appartient aux rationnels alors [tex]\sqrt{2}[/tex] peut s'écrire sous la forme d'un quotient.

On suppose qu'il existe une fraction [tex]\frac{a}{b}[/tex] qui soit égale à [tex]\sqrt{2}[/tex] avec [tex]a[/tex] et [tex] b[/tex] des entiers premiers entre eux et [tex]b\neq0[/tex]

[tex]\sqrt{2}=\frac{a}{b}\\ \\(\sqrt{2})^{2}=(\frac{a}{b})^{2}\\ \\\frac{a^{2}}{b^{2}}=2\\ \\ a^{2}=2b^{2}[/tex]
On peut donc en déduire que a² est un nombre pair puisque tout nombre entier multiplié par 2 est pair. On peut donc aussi affirmer que [tex]a[/tex] est pair. [tex]a[/tex] donc s'écrire sous la forme de [tex]2n[/tex] avec [tex]n[/tex] un entier naturel.

On a donc :
[tex](2n)^{2}=2b^{2}\\4n^{2}=2b^{2}\\b^{2}=2n^{2}[/tex]
De la même manière, on peut en conclure que [tex]b[/tex] est pair.
Or tout nombre pair est divisible par deux donc le quotient [tex]\frac{a}{b}[/tex] peut se simplifier par 2, ce qui contredit notre hypothèse qu'il existe un quotient [tex]\frac{a}{b}[/tex] irréductible.